［主要目次］

用語の問題
記号表

0.分枝過程の例から
　　0.0　はじめるにあたっての注意
　　0.1　子供の数X
　　0.2　n世代の大きさ　Zn
　　0.3　条件付平均の方法
　　0.4　消滅確率π
　　0.5　測度―思考をまとめるための小休止
　　0.6　マルチンゲール事始め
　　0.7　平均の収束または非収束
　　0.8　M∞の分布を求める
　　0.9　具体例

PartA.基礎
　1.測度空間
　　1.0　はじめの諸注意
　　1.1　加法族、σ‐加法族の定義
　　1.2　例．ボレルσ‐加法族、B(S),B=B(R)
　　1.3　集合関数に関する定義
　　1.4　測度空間の定義
　　1.5　測度に関連する定義
　　1.6　補題、拡張の一意性、π‐系
　　1.7　カラテオドリの拡張定理
　　1.8　((0,1],B(0,1])上のルベーグ測度Leb
　　1.9　補題．基本的な不等式
　　1.10　補題．測度の単調収束性
　　1.11　例／警告

　2.事象
　　2.1　実験に対応するモデル：(Ω,F,P)
　　2.2　直観的意味
　　2.3　ペア(Ω,F)の例
　　2.4　ほとんど確実に（a.s.）
　　2.5　思い出しておこう：limsup,liminf,↓lim等
　　2.6　定義．limsup En,(En,i.o.)
　　2.7　ボレル・カンテリの第1補題(BC1)
　　2.8　定義．lim inf En,(En,ev)
　　2.9　練習

　3.確率変数
　　3.1　定義．Σ-可測関数、mΣ,(mΣ)＋,bΣ
　　3.2　可測性に関する基本的命題
　　3.3　補題．可測関数の和と積は可測関数
　　3.4　写像の合成に関する補題
　　3.5　関数列の inf, liminfなどの可測性に関する補題
　　3.6　定義．確率変数
　　3.7　例．コイン投げ
　　3.8　定義．Ω上の関数の集合から生成されるσ-加法族
　　3.9　定義．法則、分布関数
　　3.10　分布関数の諸性質
　　3.11　与えられた分布関数に対応する確率変数の存在
　　3.12　分布関数に対応する確率変数のスコロホド表現
　　3.13　生成されたσ-加法族を巡る議論
　　3.14　単調族定理

　4.独立性
　　4.1　独立性に関する諸定義
　　4.2　π-系補題、および、おなじみの定義
　　4.3　ボレル・カンテリの第2補題(BC2)
　　4.4　例
　　4.5　モデル化についての基本的な問い
　　4.6　コイン投げモデルとその応用
　　4.7　記号：IID RVs
　　4.8　確率過程：マルコフ連鎖
　　4.9　猿がシェイクスピアをタイプする
　　4.10　定義．末尾σ-加法族
　　4.11　定理．コルモゴロフの0‐1法則
　　4.12　練習／警告

　5.積分
　　5.0　記号など．μ(f):=∫f dμ,μ(f;A)
　　5.1　非負単純関数に対する積分、SF＋
　　5.2　定義．μ(f),f∈(mΣ)＋
　　5.3　単調収束定理(Monotone-Convergence Theorem,MON)
　　5.4　関数列に対するファトウの補題
　　5.5　“線形性”
　　5.6　fの正の部分と負の部分
　　5.7　可積分関数、L1(S,Σ,μ)
　　5.8　線形性
　　5.9　優収束定理(Dominated-Convergence Theorem,DOM)
　　5.10　シェフェの補題(SCHEFFE)
　　5.11　一様可積分性に関する注意
　　5.12　スタンダードマシン（常套手段）
　　5.13　部分集合上の積分
　　5.14　測度fμ,f∈(mΣ)＋

　6.平均
　　6.0　はじめの諸注意
　　6.1　平均の定義
　　6.2　収束定理
　　6.3　記号E(X;F)
　　6.4　マルコフの不等式
　　6.5　非負確率変数の和
　　6.6　凸関数に対するイェンゼンの不等式
　　6.7　Lp-ノルムの単調性
　　6.8　シュワルツの不等式
　　6.9　L2:ピタゴラス、共分散、その他
　　6.10　Lp(1≦p＜∞)の完備性
　　6.11　直交射影
　　6.12　平均に関する“初等的公式”
　　6.13　イェンゼンの不等式からヘルダーの不等式へ

　7.やさしい強大数の法則
　　7.1　“独立性は乗法を意味する”―再度確認！
　　7.2　強大数の法則―最初のヴァージョン
　　7.3　チェビシェフの不等式
　　7.4　ワイエルシュトラスの近似定理

　8.直積測度
　　8.0　導入と助言
　　8.1　可測空間の積構造、Σ1×Σ2
　　8.2　直積測度、フビニの定理
　　8.3　結合分布、結合確率密度関数(pdf)
　　8.4　独立性と直積測度
　　8.5　B(R)n=B(Rn)
　　8.6　n重への拡張
　　8.7　確率三つ組の無限直積
　　8.8　結合法則に関するテクニカルな注意

PartB.マルチンゲールの理論
　9.条件付平均
　　9.1　導入のための一つの例
　　9.2　基本定理と定義(Kolmogorov,1933)
　　9.3　直観的な意味づけ
　　9.4　最良最小二乗推定量としての条件付平均
　　9.5　9.2節の定理の証明
　　9.6　慣習的な定義との一致
　　9.7　条件付平均の諸性質：リスト
　　9.8　9.7節の諸性質の証明
　　9.9　正則条件付確率と確率密度関数(pdf)
　　9.10　独立性に関する諸仮定の下での条件付け
　　9.11　対称性を用いる：一つの例

　10.マルチンゲール
　　10.1　フィルター付き空間
　　10.2　適合過程
　　10.3　マルチンゲール、優マルチンゲール、劣マルチンゲール
　　10.4　マルチンゲールの例
　　10.5　公平または不公平なゲーム
　　10.6　可予測過程、ギャンブルの戦略
　　10.7　基本原理：君はゲームの枠を壊せない！
　　10.8　停止時間
　　10.9　停止優マルチンゲールは優マルチンゲールである
　　10.10　ドゥーブの任意抽出定理
　　10.11　ほとんど不可避なことを待つ
　　10.12　単純ランダムウォークの到達時間
　　10.13　マルコフ連鎖に関する非負優調和関数

　11.収束定理
　　11.1　図はすべてを語る
　　11.2　上向き横断
　　11.3　ドゥーブの上向き横断数補題
　　11.4　系
　　11.5　ドゥーブの“前向き”収束定理
　　11.6　警告
　　11.7　系

　12.L2-有界なマルチンゲール
　　12.0　導入
　　12.1　L2におけるマルチンゲール．増分の直交性
　　12.2　L2に属する平均０の確率変数の和
　　12.3　ランダムな符号
　　12.4　標本空間を拡大することによる対称化の手法
　　12.5　コルモゴロフの三級数定理
　　12.6　チェザロの補題
　　12.7　クロネッカーの補題
　　12.8　分散に条件を付けての強大数の法則
　　12.9　コルモゴロフの刈り込み補題
　　12.10　コルモゴロフの強大数の法則(Strong Law of Large Numbers,SLLN)
　　12.11　ドゥーブ分解
　　12.12　角括弧過程〈M〉
　　12.13　Mの収束と〈M〉∞が有限であることの関連
　　12.14　L2-マルチンゲールに対する自明な“強法則”
　　12.15　ボレル・カンテリの補題のレヴィによる拡張
　　12.16　コメント

　13.一様可積分性
　　13.1　“絶対連続性”に関する一性質
　　13.2　定義．一様可積分な確率変数族
　　13.3　一様可積分の性質をもつための簡単な2つの十分条件
　　13.4　条件付平均に関する一様可積分性
　　13.5　確率収束
　　13.6　有界収束定理に関する初等的な証明
　　13.7　L1-収束のための必要十分条件

　14.一様可積分なマルチンゲール
　　14.0　はじめに
　　14.1　一様可積分なマルチンゲール
　　14.2　レヴィの“前向き”定理
　　14.3　コルモゴロフの0-1法則のマルチンゲールによる証明
　　14.4　レヴィの“後ろ向き”定理
　　14.5　強大数の法則のマルチンゲールによる証明
　　14.6　ドゥーブの劣マルチンゲール不等式
　　14.7　重複対数の法則：特別の場合
　　14.8　正規分布に関する基本的な評価
　　14.9　指数有界性への注意．大偏差原理
　　14.10　ヘルダーの不等式からの一つの結果
　　14.11　ドゥーブのLp-不等式
　　14.12　“積”のマルチンゲールに関する角谷の定理
　　14.13　ラドン・ニコディムの定理
　　14.14　ラドン・ニコディムの定理と条件付平均
　　14.15　尤度比、測度の同値性
　　14.16　尤度比と条件付平均
　　14.17　角谷の定理再説と尤度比検定の一致性
　　14.18　ハーディー空間についての注意、そのほか（大急ぎで！）

　15.応用
　　15.0　イントロダクション―どうか読んでください！
　　15.1　マルチンゲール表現の簡単な例
　　15.2　オプション価格：ブラック・ショールズ公式の離散版
　　15.3　マビノギオンの羊の問題
　　15.4　15.3節(c1)と(c2)の証明
　　15.5　15.3節(e)の証明
　　15.6　条件付確率の帰納性
　　15.7　2変数の正規分布に対してのベイズの公式
　　15.8　ノイズのある観測値
　　15.9　カルマン・ビュシーのフィルター
　　15.10　たばねられたハーネス
　　15.11　ほどけたハーネス　その1
　　15.12　ほどけたハーネス　その2

PartC.特性関数
　16.特性関数の基本的性質
　　16.1　定義
　　16.2　基礎的な性質
　　16.3　特性関数の使用法
　　16.4　鍵となる3つの事実
　　16.5　アトム
　　16.6　レヴィの反転公式
　　16.7　表

　17.弱収束
　　17.1　“エレガントな”定義
　　17.2　“実用的”設定
　　17.3　スコロホド表現
　　17.4　Prob(R)の点列コンパクト性
　　17.5　タイト性

　18.中心極限定理
　　18.1　レヴィの収束定理
　　18.2　記号oとO
　　18.3　役に立つ評価式
　　18.4　中心極限定理(Central Limit Theorem,CLT)
　　18.5　例
　　18.6　12.4節の補題の特性関数による証明

付録
　A.補遺

E.演習問題
参考文献
訳者あとがき
索引

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